Kurz und knapp: Luft-Luft-Wärmepumpen (also klassische Split-Klimaanlagen mit Heizbetrieb) sind nach aktuellem Stand der BEG-Richtlinien explizit ausgeschlossen. Gefördert werden nur Systeme, die die Wärme an ein Wasserverteilsystem abgeben – also Luft-Wasser, Sole-Wasser usw. Das ist der entscheidende Unterschied und der Grund warum viele Leute da reinfallen.
Es gibt allerdings ggf. Möglichkeiten über Landesförderungen oder KfW-Kredite, aber das ist stark von deinem Bundesland abhängig und deckt meistens auch nicht Luft-Luft ab. Ich würde trotzdem einen zugelassenen Energieberater (BAFA-Liste) aufsuchen – die erste Beratungsstunde kostet nicht viel und du hast dann Klarheit. Selbst wenn keine direkte Förderung möglich ist, rechnet sich ein gutes Inverter-Multisplit-System bei deinem Profil (87er-Bau, Gasheizung raus) langfristig trotzdem – schau dir mal den SCOP bei Geräten wie Daikin Emura oder Mitsubishi MSZ an, die liefern auch bei -10°C noch ordentlich.